Стратегия удвоений Мартингейл

Схема удвоений при игре в рулетку называется схемой Мартингейла по имени одного очень удачного французского игрока в карты, который жил в первой половине 19-го века. Во второй половине 19-го века математики дали описание этой схемы игры, применяемой в азартных играх, и дали доказательства того, что эта стратегия имеет отрицательное математическое ожидание при бесконечной по времени игре. Другими словами, даже если казино не будут устанавливать ограничения на размер максимальной ставки, тем не менее, игрока всегда ожидает только проигрыш.

Всё это справедливо только для игрока, который имеет ограниченный размер стартового капитала, то есть для реального игрока. Если игрок имеет неограниченный размер начального капитала, то игра по стратегии Мартингейла может продолжаться бесконечно долго с нарастанием выигранных денег, то есть с положительным математическим ожиданием. Когда разного рода пособия по обыгрыванию казино в рулетку описывают стратегию удвоений, то они не сообщают об этом математическом факте.

Если у человека бесконечное количество денег, то спрашивается, зачем ему тогда выигрывать еще деньги. Ведь бесконечность плюс что-то, это всё равно будет бесконечность. То есть утверждать, что схема удвоений имеет положительное мат.ожидание для бесконечного стартового капитала, не имеет никакого практического смысла. На практике капитал игрока всегда имеет ограниченный размер. Именно в этом причина того, что всякие роботы на Форексе, типа Илан, которые основаны на стратегиях, типа Мартингейла, всегда сливают начальный депозит трейдера.

Здесь не строго, но достаточно понятно покажем, почему стратегия Мартингейла является убыточной при ограниченном стартовом капитале и всегда разоряет игрока.

Допустим, мы применяем схему удвоений в игре с подбрасыванием монеты на выпадение "орел" или "решка". Минимальная ставка - 1 рубль. Нас может разорить только выпадение достаточно длинной серии проигрышей. Посчитаем вероятность выпадения непрерывной серии из m проигрышей при n подбрасываний монеты. Считаем, что m<n. Всего при подбрасывании монеты n раз, мы имеем 2n возможных комбинаций. А таких комбинаций, в которых у нас присутствуют идущие подряд друг за другом m проигрышей, будет 2n-m+1-1. (Все промежуточные математические вычисления пропускаем, кому интересно см. в любом начальном учебнике по теории вероятностей.)

Итак, получаем, что вероятность напороться на серию из m проигрышей при подбрасывании монеты n раз, будет равно (2n-m+1-1)/(2n), или 2/(2m) - 1/(2n). При стремлении числа бросаний монеты n в бесконечность, эта вероятность увеличивается и стремиться к постоянному значению 2/(2m).

Обратная величина к этой величине показывает, среднюю величину подбрасываний монеты, через которое будет повторяться эта серия непрерывных проигрышей. Например, если Вы сели играть в эту игру с 1000 рублями в кармане, то для полного проигрыша Вам нужна серия из 10 непрерывных проигрышей. Эта серия из 10 непрерывных проигрышей будет выпадать в среднем на каждые 512 бросаний монеты.

Обычно сторонники стратегии Мартингейла в этом месте возражают, что пока дожидаешься этих десяти последовательных проигрышей, за это время Ваши 1000 рублей уже увеличивается и десять последовательных проигрышей уже не страшны.

Да, действительно, если 1000 рублей превратится в сумму более 1024 рубля, то 10 последовательных проигрышей уже не разорят игрока. Теперь игрока разорят только уже 11 последовательных проигрышей, которые встречаются в среднем примерно одна серия на 1024 подбрасываний монеты.

Но всё дело в том, что выигрыши в схеме удвоений Мартингейла растут только линейно с увеличением числа бросаний монеты, а проигрыши нарастают экспоненциально. Другими словами, капитал игрока не успевает увеличиваться на столько быстро, чтобы скомпенсировать возможные просадки.

Давайте посмотрим это на нашем примере. Допустим, что мы успеваем увеличить наши 1000 рублей до суммы более 1024 до того, как наступила серия из 10 проигрышей. Теперь нам страшны проигрыши из 11 серий и более. В среднем 11 проигрышей подряд встречается на 1024 подбрасываний монеты. Но, как минимум, 24 подбрасываний у нас уже было. Это те подбрасывания, на которых мы заработали 24 рубля. Это всего лишь минимум. Возможно, подбрасываний было и больше, например, 30 или 40 или 50. Но, допустим, что все 24 первых подбрасываний были только выигрышными. Даже в этом фантастическом случае у нас получается, что 11 проигрышных серий первый раз выпадет за 1024-24=1000 бросаний. (Реально меньше 1000). А чтобы 11 последовательных проигрышей были не страшны, капитал игрока должен быть более 2048 рублей. То есть надо заработать еще 1024 рубля, которые будут заработаны не менее, чем за 1024 подбрасываний. А проигрыш ждет нас на 1000 подбрасываний. Уже плохо, очень плохо. Вероятность проигрыша уже стала больше 50%. То есть 50 человек из 100 на этом этапе сливают свой депозит.

Но, допустим, игроку повезло. Он успел заработать нужную сумму и его капитал стал более 2048 рублей до того, как выпала серия из 11 или более проигрышей. Теперь ему грозить только серия из 12 и более последовательных проигрышей. Но непрерывная серия из 12 проигрышей выпадает примерно один раз на 2048. А монета уже была подброшена примерно в среднем 1024+24=1048 раз. А надо её подбросить еще примерно в среднем 4096-1048=3048 раз для того, чтобы сделать капитал свыше 4096 рублей и обезопасить себя от серии из 12 проигрышей. Таким образом, на следующие 2048-1048=1000 подбрасываний ожидается серия из 12 проигрышей, а нам нужно 3048 подбрасываний. Вероятность слива депозита уже свыше 67%. То есть 67 человек из 100 на этом этапе сливают свой депозит. С учетом того, что на предыдущем этапе 50% всех игроков уже слили свой депозит, получаем, что в игре остается только 16 человек из 100.

И так далее. На каждом следующем этапе вероятность проигрыша нарастает до тех пор, пока в игре не остается меньше одного человека из 100, то есть все игроки проигрывают. Если берем начальное число игроков, скажем, 1000 человек с 1000 рублями у каждого, то и в этом случае получаем в игре менее одного человека за конечное число подбрасываний монеты.

Из предыдущего, хорошо разобранного примера, очень хорошо видна причина такого положения дел. Причина в том, что доходы растут только прямо пропорционально количеству бросаний монеты. Чтобы сделать доходы в 2 раза больше, Вам надо подбросить монету примерно в 2 раза больше. А для того, чтобы капитал успевал вырасти на столько, чтобы не были страшны встречи с сериями последовательных проигрышей, капитал должен расти в геометрической прогрессии. Иначе он в среднем будет не успевать увеличиваться на столько, чтобы компенсировать средние выпадения серий проигрышей. Если бы капитал увеличивался так, что при увеличении числа бросаний монеты в 2 раза, он увеличивался бы в 4 раза, то при бесконечном числе бросаний игрок остался бы при своих деньгах. А если бы при увеличении числа бросаний монеты в 2 раза, капитал увеличивался бы более чем в 2 раза, то математическое ожидание в такой игре было бы положительным.

Начинающие игроки, при тестировании стратегии Мартингейла, часто остаются в прибыли. Так получается только потому, что они не играют очень долго, а размер их стартового капитала таков, что величина m больше, чем величина n. В этом случае имеем нулевую вероятность встретить m последовательных проигрышей. Например, для 1000 рублей для разорения необходимо 10 последовательных проигрышей. Если Вы сыграете всего 9 раз, то это никогда не приведет к сливу всех Ваших 1000 рублей. Максимум убытков будет, когда на 9 подбрасываний выпадет все 9 раз только проигрыши. Вы при этом проиграете только 511 рублей. Но для этого нужна вероятность менее 0.2%. Чтобы такое встретилось, нужно в среднем не менее 512 испытаний. То есть даже такой проигрыш трудно обнаружить на небольшой серии испытаний.

Часто интересуются таким вопросом. А если я буду, например, недолго играть по стратегии Мартингейла, но много раз. Например, сыграю только 9 раз при стартовом капитале 1000 рублей. Сниму всю прибыль и потом еще раз сыграю 9 раз при стартовом капитале 1000 рублей. И так далее.

Увы, простой подсчет говорит о том, что если число таких игр стремиться к бесконечности, то математическое ожидание такой стратегии тоже отрицательное. Дело в том, что прибыль в такой игре будет всё равно нарастать линейно, а проигрыши нарастать экспоненциально. Поэтому прибыли не будут успевать компенсировать проигрыши, и на каком-то этапе Вы обнаружите, что на пополнение депозита уходит больше денег, чем зарабатывается в такой системе. Например, если Вы получили серию из 9 проигрышей, то есть проиграли 511 рублей, то максимально быстро скомпенсировать это можно только серией 511 выигрышей. Делим 511 на 9 и получаем, что нужна последовательность из более 56 игр, в которых идут только одни серии из 9 последовательных выигрышей. Это в 56 раз менее вероятно, чем одна проигрышная серия из 9 проигрышей.

Таким образом, если Вы не будете реинвестировать выигрыши в Ваш депозит, то ситуация будет еще хуже, чем при одной непрерывной бесконечной игре с реинвестированием прибыли.

Вывод: Ни одна система заработка на базе схемы удвоения (Мартингейл) никак не может быть базой для постоянного длительного получения дохода.

Почему же тогда Мартингейл считался удачливым игроком в карты?

Дело в том, что он всегда играл только с такими игроками, у которых денег всегда было меньше, чем у него. Представьте себе, что Вы играете в игру с подбрасыванием монеты с игроком, у которого только 10 рублей, а у Вас 1000 рублей. Вы ставите на орла, а он на решку. И пусть проигравший на очередном подбрасывании имеет право удваивать свою предыдущую ставку. Не смотря на то, что Ваши проигрыши приводят к экспоненциальному росту его выигрышей, тем не менее, в среднем, за много игр он гораздо чаще Вас столкнется с такой серией последовательных проигрышей, которая обнулит его депозит.

Понятно, что, когда Вы играете с богатым казино, то стратегия Мартингейла на очень длительной серии ставок всегда оборачивается против Вас. Вы можете применять эту стратегию только в замкнутой финансовой системе при условии, что Ваш капитал на порядок больше, чем суммарный капитал всех Ваших соперников вместе взятых. Чем и занимался сам Мартингейл.


Проксима - это продвинутый конструктор и симулятор стратегий Мартингейла для фондовой биржи, Форекса, бинарных опционов и азартных игр.


Полное описание любых стратегий Мартингейла (не только для казино) можно найти в интересной книге Миронов Е.Ю. "Продвинутый Мартингейл", изд-во Литрес. Это фактически самая полная энциклопедия Мартингейла на русском языке.


Некоторые полезные материалы по Мартингейлу:

  • Мартингейл и казино. Сравнение двух стратегий Мартингейла для европейской рулетки в казино. Математическое моделирование, сбор статистики и обработка статистических данных по применению стратегии Мартингейла в казино.
  • Что такое стратегия Мартингейла. Дается самое математически точное определение стратегии Мартингейла. На базе этого определения можно вычислять правильные стратегии Мартингейла. Показан пример из области бинарных опционов.
  • Разница между стратегией Мартингейла и системой Мартингейла. На базе вычисленной стратегии Мартингейла нужно ещё построить свою систему Мартингейла для заработка. Зарабатывают не на стратегиях, а на системах.
  • Калькулятор Мартингейла. Почему большинство калькуляторов Мартингейла в Интернете являются ошибочными. Преимущества Проксимы перед другими калькуляторами Мартингейла.
  • Другие материалы для профессионального применения Мартингейла. Это оглавление всех статей по Мартингейлу в моём блоге на этом сайте. Многие вещи взяты из моей книги "Продвинутый Мартингейл".


------------------

Автор статьи: Евгений Миронов.








Финансовый Анализ и Финансовый Менеджмент | © Евгений Юрьевич Миронов; 2008-2019