Анализ Фурье валютного рынка Форекс

Любой человек, который начинает задумаваться о прогнозирование курса валюты на бирже Форекс, сразу же вспоминает старый добрый Фурье-анализ. Мы тоже не были исключением из этого правила и первое, что нам пришло в голову это сделать анализ Фурье поведения какой-нибудь валютной пары.

Идея Фурье-анализа очень простая. Надо взять как можно больший интервал исторических данных поведения какой-нибудь валютной пары, посчитать коэффициенты дискретного Фурье-разложения, например, для цен закрытия, построить график Амплитудно-Частотной Характеристики (АЧХ) и найти на каких частотах бывают максимумы АЧХ. Эти частоты и будут соответствовать основным периодам изменения валютной пары. Поняв, через какие времена поведение валютной пары регулярно повторяется, можно уже прогнозировать поведение этой валютной пары в будущем. Как видите, на первый взгляд все выглядит очень просто.

Но с самого начала нас смущала только одна мысль, а почему до этого не додумались еще лет 100 назад или хотя бы несколько десятилетий назад, когда появились компьютеры. Поэтому мы были уже как бы готовы к тому, что получится какая-нибудь фигня. Просто очень хотелось взглянуть на эту фигню самим. И оценить эту фигню непредвзятым глазом. Для непредвзятого взгляда мы даже не стали искать в Интернете никаких материалов по данной теме, чтобы они не повлияли на наше видение результата.

В краце, результаты полученного АЧХ были следующими:

  1. Большая полоса белого шума со снижающейся амплитудой при увеличении частоты.
  2. На фоне полосы белого шума имеется нескольк более или менее четко выраженных пиков.
  3. Положение пиков на АЧХ и их выраженность непостоянны.
  4. Пики занимают то или иное положение в зависимости от того, какой временной интервал мы исследовали, как от длины интервала, так и от его расположения.
  5. Выраженность пиков также зависит от того, какой временной интервал мы исследовали, как от длины интервала, так и от его расположения.
  6. Пики вообще иогут на некоторых исследуемых интервалах исчезать.
  7. При последовательном изменении какого-нибудь интервала исследования можно наблюдать, как некоторые пики постепенно исчезат утонув в шуме, другие, наоборот, вылезают из шума.
  8. При последовательном изменении какого-нибудь интервала исследования можно наблюдать, как некоторые пики постепенно сливаются друг с другом, или, наоборот, какой-нибудь пик делится на два пика.

Но самое плохое состояло в том, что мы не могли предсказать, как будут вести себя эти резононсные пики в будущем. Будет ли данный конкретный пик смещаться в область более высоких частот, если до этого он на данном конкретном фиксированном по длине интервале исследования смещался в область более высоких частот?

Поэтому на основе простого Фурье-анализа невозможно сказать, что через столько-то биржевых дней валютная пара снова поведет себя так-то и так-то. В нестационарности процесса заключается главная причина фиаско метода Фурье для прогнозирования курса валют на бирже Forex.

В целом, по поводу Фурье-разложения надо заметить следующее. Фурье-анализ хорошо работает там, где есть некоторая трансляционная симметрия процесса, в данном случае по времени. Даже, если просесс сильно утонул в случайных шумах, так что никакой периодичности на глаз почти не видно и/или исказился до неузнаваемости разного рода полиномиальными трендами, так что никакой периодичности в поведении снова не ощущается, все равно Фурье-анализ с высокой степенью отфильтрует все периодические составляющие этого процесса. В нашем случае можно сказать, что такие такие периодические тренды на валютной бирже Форекс присутствуют, но нестационарность приводит к тому, что амплитуда и период этих колебаний постоянно меняются. Мало того, сами эти колебательные тренды на бирже Forex могут зарождаться и уничтожаться. И этот процесс рождения и уничтожения новых колебаний происходит там постоянно.

Итак, если Фурье-разложение хорошо работает для анализа функций с трансляционной симметрией, то как быть с функциями без трансляционной симметрии?

В теории функционального анализа утверждается, что любую непрерывную квадратично интегрируемую на каком-то интервале функцию можно разложить на этом интервале в ряд по бесконечному набору линейно независимых ортонормированных функций. Для случая не непрерывной, а дискретной функции можно разложить в конечную сумму по конечному набору ортонормированных функций.

Классический ряд Фурье это один из примеров такого разложения. Например, если на каком-то интервале у нас есть какая-то функция, которая описывает, скажем, колебания натянутой струны на этом интервале, то классическое разложение в ряд Фурье такой функции дает разложение амплитуды колебаний по гармоникам колебаний струны. У нас на интервале может укладываться только целое число полуволн синуса или косинуса (конкретно синус или косинус, это зависит от граничных условий). Интеграл от произведения любых двух несовпадающих гармоник равен нулю, то есть все гармоники ортогональны друг другу. Для дискретной функции (не непрерывная струна, а конечное число частиц) все то же самое, только разложение идет не по бесконечному ряду, а по конечной сумме, так как в такой системе у нас конечное число степеней свободы (конечное число гармоник).

В зависимости от симметрии функции разложение может быть более удобным не по синусам и косинусам, а по другому ортонормированному набору функций. Например, функции с цилиндрической симметрией более удобно разлагать в ряд по набору функций Бесселя, а функции со сферической симметрией лучше разлагать в ряды по полиномам Лежандра и т.п. Все эти наборы ортонормированных функций являются собственными функциями операторов соответствующих симметрий. Например, синусы и косинусы это собственные функции трансляционного оператора d/dx.

Вот эта вещь в дальнейшем оказалась для нас очень продуктивной. Надо разложить исторический временной ряд валютной пары по ортонормированному набору функций оператора эволюции данного ряда.


------------------

Автор статьи: Евгений Миронов.








Финансовый Анализ и Финансовый Менеджмент | © Евгений Юрьевич Миронов; 2008-2019