Модифицированные стратегии Мартингейла

Схема удвоений или, по другому, стратегия Мартингейла, при выпадении серии последовательных проигрышей приводит к нарастанию общего проигрыша в геометрической прогрессии и к нарастанию ставок также в геометрической прогрессии. Это приводит к тому, что игрок или очень быстро сливает весь свой начальный капитал или сталкивается с правилами казино об ограничении максимального размера ставки, что также приводит к невозможности отыграться.

Поэтому появляется желание как-то модифицировать схему Мартингейла так, чтобы убытки не нарастали так быстро. Давайте посмотрим, как делаются такие схемы медленного роста убытков.

Идея следующая. В схеме удвоений у нас идут на каждом проигрыше удвоения из-за того, что выигрыш идет в отношении 1:1 (Even Money). Значит, если не удваивать следующую ставку, то при её выигрыше мы не сможем компенсировать все предыдущие проигрыши и плюс к этому выиграть размер минимальной ставки. Выигрыш в размере 1:1 применяется в рулетке в трех случаях: если Вы ставите на чет/нечет, на красное/черное и на маленькое/большое. То есть во всех трех случаев Вы ставите на 18 номеров сразу. Это половина от всех 36 номеров. (Точнее говоря, примерно половина, так как есть еще 37-й сектор зеро.) Но ведь в казино можно ставить сразу только и на дюжину номеров (Dozen Bet). При выпадении какого-то номера из дюжины, выплата идет в отношении 2:1, то есть если Вы поставили $1, то при выигрыше Вам выплатят $2. Значит, при проигрыше первой ставки мы можем сразу не поднимать ставку, так как выигрыш второй ставки всё равно скомпенсирует проигрыш первой ставки.

Поэтому, если идет серия проигрышей при ставках на дюжину, то первые две ставки делаются по $1 каждая. А вот третья ставка делается уже на величину $2. Если третья ставка выиграет, то выигрыш на третьей ставке будет $4. Из них $2 скомпенсируют два проигрыша на первых двух ставках. И у нас останется еще $2 выигрыша.

А если и третья ставка на дюжину проигрывает, то наш общий проигрыш на трех ставках будет $1+$1+$2=$4. Четвертая ставка в $2 в случае выигрыша только компенсирует общий проигрыш. Поэтому лучше взять ставку $3, так как её выигрыш будет $6. Это компенсирует общий проигрыш $4 и еще останется $2 выигрыша.

Далее в таблице показано, какие нужно делать ставки при игре в рулетку на дюжины, если у Вас идет серия последовательных проигрышей. Для сравнения, в первой колонке показано, как в этом случае идет рост ставок при обычной схеме удвоений. В третьей колонке показано, как нарастает общий суммарный проигрыш, когда идет серия последовательных проигрышей. В четвертой колонке показано, каким выигрышем заканчивается серия проигрышей, если последняя ставка в серии оказывается выигрышной.

На первый взгляд, кажется, что результат очень не плохой. Там, где при схеме удвоений нужно ставить уже $4096, в схеме ставок на дюжину надо ставить всего $105. Но на самом деле, если приглядеться внимательно, то можно увидеть, что и здесь ставки растут по экспоненте. Они более чем удваиваются за два вращения рулетки. Убытки также нарастают экспоненциально, более чем удваиваясь за два вращения рулетки. Если при стратегии удвоения ставки в серии проигрышей нарастают как степени двойки, 2^(m-1), где m - номер проигрыша в серии проигрышей, то в стратегии ставок на дюжину при серии проигрышей ставки нарастают по закону 1.5^(m-1), при стремлении m в бесконечность. По такому же закону нарастает и общий суммарный проигрыш в серии неудач в пределе бесконечного m.

Поэтому данная схема имеет все те же самые недостатки, что и классическая стратегия Мартингейла, то есть имеет отрицательное математическое ожидание и не может использоваться для длительного заработка.

А что, если рассмотреть ставки только на четверть всех номеров, то есть на 9 номеров, при выигрыше в отношении 3:1. В обычных казино такие ставки не принимаются, но в электронных казино в Интернете такие ставки иногда встречаются.

В этом случае мы можем в серии проигрышей не только вторую ставку оставить $1, но и третью тоже оставить в размере $1. Ведь если третья ставка в размере $1 выиграет, то её выигрыш в $3 скомпенсирует первые два проигрыша по $1 каждый и у нас еще останется выигрыш в размере $1. Ставку $2 придется ставить уже только после трех проигрышей подряд. Если эта четвертая ставка будет выигрышная, то выигранные $6 распределятся так, что $3 пойдут на покрытие убытков первых трех проигрышей по $1 каждый и нам останется еще $3 прибыли.

Если четвертая ставка $2 тоже будет убыточная, то значит, общий убыток составит $1+$1+$1+$2=$5. Поэтому пятую ставку поднимать не надо. Её нужно оставить такой же, как и четвертую ставку, то есть $2. Если пятая ставка выиграет, то из выигранных $6, останется $1 прибыли, так как $5 пойдет на покрытие предыдущих убытков.

В следующей таблице показано, как нарастает ставка при игре в рулетку при ставках на 9 номеров с выигрышем 3:1, если идет серия последовательных проигрышей. Для сравнения в первой колонке показано нарастание величины ставки в классической схеме удвоений, а во второй колонке показано нарастание ставок при игре на дюжину номеров, рассмотренную выше. В четвертой колонке показано, как нарастает общий суммарный проигрыш в серии последовательных проигрышей. А в пятой колонке показано, каким выигрышем у нас закончится серия проигрышей, если эта серия проигрышей оборвется выигрышем.

Получился результат еще лучше, чем в схеме ставок на дюжину. Когда при стратегии ставок на дюжину Вам надо поставить $237, при ставках на 9 номеров Вам надо поставить всего $39. Не говоря уже о классической стратегии Мартингейла, где пришлось бы ставить $16384. Но и экспоненциальный рост сохраняется. И ставки и убытки более чем удваиваются на каждый третий последовательный проигрыш. С увеличением числа проигрышей m в серии, закон нарастания ставок и нарастания суммарного проигрыша стремится к закону (4/3)^(m-1)

Теперь понятно, в каком направлении надо двигаться.

Для ставок на 6 номеров с выплатой 5:1 (Line Bet) имеем следующую таблицу. Здесь также для сравнения в первой колонке показано нарастание ставок для классического Мартингейла, во второй колонке - нарастание ставок в стратегии ставок на дюжины, в третьей колонке - для стратегии ставок на 9 номеров. В двух последних колонках показано, соответственно, нарастание суммарного проигрыша в серии проигрышей при стратегии ставок на 6 номеров и результат окончания серии проигрышей в стратегии ставок на 6 номеров.

Удвоения идут более чем за 4 проигрыша подряд. Мы ставим всего $25 там, где при стратегии ставок на 9 номеров пришлось бы ставить $218, при стратегии ставок на дюжину пришлось бы ставить $2697, а в классическом Мартингейле - $1'048'576. Экспоненциальный рост убытков и ставок идет еще медленнее, по закону 1.2^(m-1), который выполняется тем точнее, чем больше значение m - длина серии последовательных проигрышей.

Если делать ставки на 4 номера с выигрышем 8:1 (Corner Bet) таблица будет следующая.

Получаем еще более поразительный результат! Нам нужно будет поставить всего $20 там, где поклоннику классического Мартингейла придется поставить $536'870'912 для того, чтобы отыграться. Но тем не менее и в такой стратегии мы имеем отрицательное мат.ожидание, так как убытки в серии последовательных проигрышей всё равно нарастают экспоненциально по закону 1.125^(m-1).

Для ставок на три номера и выплаты 11:1 (Street Bet) таблица будет такая. (Сравнивать с классической схемой удвоений здесь уже не имеет смысла, поэтому таблица начинается со ставок на дюжины.)

Тут уже стратегии ставок на дюжины и на 9 номеров далеко отстают от стратегии ставок на 3 номера. Ставки и проигрыши нарастают по закону: (12/11)^(m-1)

Для ставок на 2 номера и выплаты 17:1 (Split Bet) таблица имеет следующий вид. (Сравнивать со ставками на дюжину уже не имеет смысла.)

И снова получаем замечательный результат относительно маленькой скорости роста ставок при серии постоянных проигрышей: (18/17)^(m-1). Хотя в "светлом" будущем нам всё равно грозит проигрыш на все 100%, так как убытки по-прежнему нарастают в геометрической прогрессии.

Ну и, наконец, это таблица ставок для случая, когда Вы ставите при игре в рулетку только на 1 число. В этом случае выплаты при выигрыше идут в отношении 35:1 (Straight Bet). Понятно, что это самая лучшая модифицированная стратегия Мартингейла игры в рулетку с точки зрения медленного нарастания ставок и медленного нарастания потерь. Сравнивать со всеми выше перечисленными стратегиями не имеет никакого смысла, поэтому в следующей таблице такое сравнение отсутствует.

Нарастание ставок и нарастание суммарных потерь в этой стратегии идет по закону: (36/35)^(m-1). Это самый медленный закон нарастания среди всех усовершенствованных стратегиях Мартингейла при игре в рулетку. На половину номера в рулетку, как известно, не ставят, поэтому ничего более медленного мы придумать уже не сможем.

Если бы в рулетке было бы не 37 секторов, а больше, то получился бы еще более медленный закон нарастания ставок. Например, если в рулетке будет 101 сектор, где один сектор зеро, а другие обычные числа, и ставка на число выигрывает в отношении 99:1, то закон нарастания был бы таким: (100/99)^(m-1). Чем основание экспоненты меньше и ближе к единице, тем медленнее растер экспонента. Сравните, 36/35=1.02857..., в то время, как 100/99=1.0101....

Нетрудно посчитать, что если у нас число N показывает сколько возможных выпадений дает нам рулетка, n - число вращений рулетки, а m это серия неудачных выпадений, то вероятность столкнуться с такой неудачной серией выпадений будет равна (N-1)^(m-1)(N^(1-m)-N^(-n)). Для N=2 эта формула переходит в формулу, которую мы уже выводили 2/(2^m) - 1/(2ⁿ) в статье посвященной классической стратегии Мартингейла. Если n стремится к бесконечности, то получаем, что вероятность столкнуться с серией неудачных выпадений в рулетке будет ((N-1)/N)^(m-1).

Для стратегии ставок на одно число, мы имеем N=36. Значит, вероятность столкнуться с серией из m неудачных выпадений в рулетку будет (35/36)^(m-1), или примерно 0.9722222^(m-1), или еще по-другому примерно 1.02857*0.9722222^m. Сравните это с классическим случаем N=2, когда имеем 2*2^m. Ниже на графике показано, как отличается вероятность встретить серию из m неудачных выпадов для стратегии ставок на половину номеров (синий цвет) и на один номер (пурпурный цвет).

Вероятность встретить хотя бы одно неудачное выпадение равно единице в обеих случаях, так как при бесконечно длинной игре вероятность выпадения бесконечной серии только одних выигрышей стремится к нулю. (При конечном значении n вероятность n выигрышей не нулевая.)

Фактически это график того, на сколько часто будет выпадать серия последовательных проигрышей в этих стратегиях. Например, вероятность того, что при ставках на половину номеров мы столкнемся с серией из 25 последовательных проигрышей, будет равна 0.0000000596, то есть примерно 1 раз на 16'777'216 вращений рулетки. В то время, как при стратегии ставок на один номер мы получаем серию из 25 последовательных невыпадений нужного номера с вероятностью примерно 0.5, то есть примерно в половине всех испытаний на каждые 25 вращений рулетки нам не выпадет нужный номер. Получаем, что при стратегии ставок на половину номеров мы столкнемся с серией из 25 последовательных проигрышей в 8'388'608 раз реже, чем при стратегии ставки на один номер.

При этом по окончании каждой неудачной серии мы зарабатываем $1 в стратегии классического Мартингейла и от $1 до $35 в стратегии ставок на один номер. Конкретно, например, при стратегии на один номер после окончания серии из 25 проигрышей на 26-м выигрышном вращении рулетки мы заработаем $10 (см. последнюю таблицу), в то время, как в классическом Мартингейле заработаем только $1. Но в классическом Мартингейле у нас чаще встречаются выигрыши и реже встречаются серии последовательных проигрышей. Выигрыши в схеме удвоений встречаются в 18 раз чаще, чем встречаются выигрыши в схеме ставок на одно число. Нетрудно показать, что заработок в обеих схемах игры растет примерно с одной и той же средней скоростью при бесконечном увеличении времени игры.

Итак, заработок растет в обеих схемах примерно одинаково. Слив капитала при серии проигрышей в стратегии ставки на один номер идет гораздо медленнее, по закону (36/35)^(m-1), а не по 2^(m-1). Но вот серии последовательных проигрышей встречаются гораздо чаще в стратегии ставок на один номер. Причем, как видно из графика, чем длиннее такая серия проигрышей, тем она более вероятна по сравнению с вероятностью выпадения этой же серии в классическом Мартингейле.

Так что же у нас будет в среднем преобладать при ставках на один номер, низкий слив капитала или большая частота таких сливов?

Другими словами, не получится ли так, что преимущество в низком сливе капитала компенсируется слишком большой частотой сливов?

Сравнивая выражения для нарастания суммарных потерь (36/35)^(m-1) и 2^(m-1), получаем, что слив в классическом Мартингейле идет быстрее, как степенная функция от (2/(36/35))^(m-1), или это примерно 1.94444444^(m-1). То есть это то же самое во сколько чаще встречается серия неудач одной и той же длины в стратегии ставок на один номер, чем в стратегии ставок на половину номеров.

Иначе говоря, во сколько раз медленнее идет слив капитала в стратегии ставок на один номер, во столько же раз чаще наступает ситуация такого слива. Ну, типа, если капитал сливается в 10 раз медленнее, то и случаться это будет в 10 раз чаще. А если капитал будет сливаться в 100 раз медленнее в серии неудач, то и наступать такие серии неудач тоже будут в 100 раз чаще.

Вывод: Модифицированные стратегии Мартингейла, с более медленным нарастанием убытков и ставок в непрерывной серии проигрышей, не дают никаких преимуществ по сравнению с классической стратегией Мартингейла с удвоением убытков и ставок в непрерывной серии проигрышей.

Примечание: Здесь для простоты классический Мартингейл рассматривался без учета сектора зеро, то есть как для подбрасывания монеты. Учет зеро усложняет выкладки, но не меняет сути главного вывода. (По материалам сайта: Победитель Хаоса.)

Проксима - это продвинутый конструктор и симулятор стратегий Мартингейла для фондовой биржи, Форекса, бинарных опционов и азартных игр.

Если Вас интересуют стратегии Мартингейла не только для рулетки казино, но и для биржевых игр и тотализаторов, то полное описание любых стратегий Мартингейла смотрите в интересной книге Миронов Е.Ю. "Продвинутый Мартингейл", изд-во Литрес. Это фактически самая полная энциклопедия Мартингейла на русском языке.

Некоторые полезные материалы по Мартингейлу:

• Мартингейл и казино. Сравнение двух стратегий Мартингейла для европейской рулетки в казино. Математическое моделирование, сбор статистики и обработка статистических данных по применению стратегии Мартингейла в казино.
• Что такое стратегия Мартингейла. Дается самое математически точное определение стратегии Мартингейла. На базе этого определения можно вычислять правильные стратегии Мартингейла. Показан пример из области бинарных опционов.
• Разница между стратегией Мартингейла и системой Мартингейла. На базе вычисленной стратегии Мартингейла нужно ещё построить свою систему Мартингейла для заработка. Зарабатывают не на стратегиях, а на системах.
• Калькулятор Мартингейла. Почему большинство калькуляторов Мартингейла в Интернете являются ошибочными. Преимущества Проксимы перед другими калькуляторами Мартингейла.
• Другие материалы для профессионального применения Мартингейла. Это оглавление всех статей по Мартингейлу в моём блоге на этом сайте. Многие вещи взяты из моей книги "Продвинутый Мартингейл".